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Teoria dei sistemi
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== Teoria dei sistemi classica == Possiamo rappresentare un sistema come una scatola nera con ingressi (solitamente indicati con <math>u(t)</math>) ed uscite <math>y(t)</math>. Lo stato del sistema è descritto da un insieme di variabili, dette appunto "variabili di stato", solitamente indicate con <math>x(t)</math>, che definiscono la situazione in cui si trova il sistema in un certo istante temporale. Gli ingressi agiscono sullo stato del sistema e ne modificano le caratteristiche, ovvero i valori, in un dato istante temporale; le modifiche vengono registrate dalle variabili di stato. I valori delle uscite del sistema, solitamente le uniche variabili misurabili (ingressi esclusi), dipendono a loro volta dalle variabili di stato del sistema e dagli ingressi (in maniera più o meno diretta). Per lo studio del sistema si analizza e si fissa il lasso di tempo [T] nel quale sarà studiato. In questo lasso di tempo (insieme ordinato di istanti) si considera una serie di istanti particolari. «Ordinato» significa che prendendo due elementi qualsiasi possiamo stabilire con certezza quale dei due precede l'altro. Gli elementi necessari per studiare un sistema sono: <math>t={t_0,t_1,...,t_i}</math>// Insieme ordinato del tempo <math>u={u_0, u_1,...,u_i}</math> // Insieme delle variabili di ingresso <math>y={y_0, y_1,...,y_i}</math> // Insieme delle variabili di uscita <math>x={x_0, x_1,...,x_i}</math> // Insieme delle variabili di stato <math>f=f(t, u, y, x)</math> // Equazione di stato <math>g=g(t, u, y, x)</math> // Equazione di uscita L'equazione di stato ''f'' serve a calcolare lo stato interno del sistema in un determinato istante, ovvero la sua evoluzione nel tempo: <math>x(t_i)=f(x(t_0),u,[t_0,t_i])</math> Si tiene conto, cioè, dello stato iniziale e di tutti gli ingressi fino a quel momento. Grazie a questa funzione possiamo studiare l'evoluzione dello stato interno di un sistema. L'equazione di uscita ''g'' serve a calcolare l'uscita ''y(t<sub>i</sub>)'' nell'istante ''t<sub>i</sub>'': <math>y(t_i)=g(x(t_i),u(t_i))</math> Essa tiene conto, quindi, dello stato interno del sistema e degli ingressi dell'istante ''t<sub>i</sub>''. Il sistema, quindi, dipende da questa sestupla di dati: <math>S=(t,u,y,x,f,g)</math> In ambito ingegneristico sono formalmente possibili tre diverse modellizzazioni matematiche equivalenti e interscambiabili di un sistema dinamico: * il modello ingresso-stato-uscita (ISU), che, come visto, evidenzia lo stato interno del sistema, le cause perturbanti o forzanti che agiscono su di esso, ovvero gli ingressi, ed infine l'output di uscita; * il modello ingresso-uscita (modello ARMA, ''Auto-Regressive Moving Average'', o modello auto-regressivo a media mobile), che lega direttamente gli ingressi (e le sue derivate) con le uscite (e le sue derivate) nascondendo le variabili di stato; * il modello tramite [[funzione di trasferimento]], per sistemi lineari tempo invarianti (LTI), ottenuto nel dominio della [[trasformata di Laplace]], della [[trasformata di Fourier]] o della [[trasformata zeta]]. Il modello ISU è quello che, tramite lo stato, mette in evidenza maggiori informazioni e proprietà del sistema; si ottiene direttamente dal sistema ingresso-uscita mettendone in evidenza le variabili di stato; queste in generale possono non essere univoche, ma la loro scelta è spesso dettata dalla ragionevolezza del caso in oggetto. Il modello ingresso-uscita ARMA si ottiene, invece, direttamente come [[equazione differenziale]] o [[equazione integro-differenziale|integro-differenziale]] dalle [[Equazione di bilancio|equazioni di bilancio]] del sistema fisico in oggetto (meccanico, termodinamico, elettrico). In generale, da una modellizzazione ingresso-uscita differenziale lineare di ordine ''n'' si ricavano ''n'' equazioni differenziali lineari del primo ordine esprimibili poi in maniera compatta tramite il formalismo matriciale. === Analisi === L'analisi di tali sistemi può essere fatta tramite l'ottenimento della cosiddetta [[funzione di trasferimento]] ovvero il rapporto tra la [[Trasformata di Laplace]] dell'uscita e la trasformata dell'ingresso ovvero tramite la cosiddetta [[risposta impulsiva]], [[Trasformata_integrale|antitrasformata]] della funzione di trasferimento ovvero risposta da un impulso semplice dove l'uscita viene computata nel dominio del tempo dalla [[convoluzione]] di tale risposta impulsiva con l'ingresso desiderato ovvero con il prodotto della funzione di trasferimento per l'ingresso trasformato e poi il tutto antitrasformatato. Altro modo di rappresentazione analogo è il modello autoregressivo ingresso-stato-uscita a media mobile (ARMA).
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